Исследуется класс основных функций ф+ построенный по принципу пространств Лизоркина на основе смешанного преобразования Фурье - Киприянова - Катрахова. Первоначально такие классы функций, построенные на основе смешанного преобразования Фурье Бесселя, исследовались Л. Н. Ляховым. Введенные им пространства не могли учитывать "нечетные" порядки сингулярных производных. Но последние оказались принципиально необходимы в задачах определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Интегральное преобразование Киприянова - Катрахова (принадлежит классу преобразований Бесселя) приспособлено для работы с сингулярным дифференциальным операторам типа D(2m/B)+k d(k)/dxk B(m/x) где k принимает значения 0 или 1, а B m/x сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, порядок дифференцирования равен 2m. Пространства основных функций, представляющие собой образы смешанного преобразования Фурье - Киприянова - Катрахова функций, исчезающих в начале координат и на бесконечности, рассмотрены в данной работе. Изучается возможность приближения функций из весовых классов Лебега L y/p со степенным весом П |x/i| yi именно, доказана теорема о плотности ф y/+ в пространстве функций Лебега.
We study the class of test functions constructed on the principle of Lizorkin spaces by means of mixed Fourier-Kipriyanov-Katrakhov transform. Initially, such classes of functions, constructed on the basis of a mixed Fourier-Bessel transform, were investigated by L. N. Lyakhov. The spaces introduced by him could not take into account “odd” orders of singular derivatives. But the latter appeared to be fundamentally necessary in the problems of determining the fundamental solutions of differential equations (ordinary and in partial derivatives). The integral Kipriyanov-Katrakhov transform (belonging to the class of Bessel transforms) is adapted to work with singular differential operators of the type where k takes values 0 or 1, is a singular differential Bessel operator and the order of differentiation is 2m. The spaces of the basic functions that represent the images of the mixed Fourier-Kipriyanov-Katrakhov transform of functions vanishing at the origin and infinity are considered in this paper. We study the possibility of approximating functions from weighted Lebesgue classes with power weight namely, the density theorem in the Lebesgue function space.

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не дает принадлежность решений этим пространствам. С.А. Терсеновым (для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени) и С.Г. Пятковым (для более общего уравнения второго порядка) получены необходимые и достаточные условия разрешимости в Гельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. Рассмотрены случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Введены функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Изучены свойства полученных решений. В частности, установлена эквивалентность условий Рисса и Литлвуда-Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказана однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахового пространства.
The article is devoted to studying one of the sections of nonclassical differential equations, namely, matters concerned with solvability of parabolic equations with changing second-order time direction. As is known, in ordinary boundary-value problems for strictly parabolic equations, the smoothness of the initial and boundary conditions completely ensures that the solutions belong to the Holder spaces, but in the case of equations with changing time direction, the smoothness of the initial and boundary conditions does not ensure that the solutions belong to these spaces. S.A. Tersenov (for a model parabolic equation with changing time direction) and S.G. Pyatkov (for a more general second-order equation) obtained the necessary and sufficient conditions for solvability of the corresponding mixed problems in Holder spaces. In so doing, they always assumed the initial and boundary conditions being equal to zero. Cases in which the initial and boundary conditions belong to Banach spaces are considered. The functional spaces in which the solutions must be sought are introduced. Relevant a priori estimates, which make it possible to obtain the solvability conditions for these problems, are obtained. The properties of the obtained solutions have been studied. In particular, the equivalence of the Riesz and Littlewood-Paley conditions similar to the conditions for solutions of strictly elliptic and strictly parabolic second order equations is established. A unique solvability of the first mixed problem with boundary and initial functions from the Banach space has been proved.

Работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вида

Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка в звездной области с боковой границей, принадлежащей классу вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Рисса и Литтлвуда и Пэли, в которых даются критерии предельных значений в, p > 1, аналитических в единичном круге функций. Эта тематика для равномерно эллиптических уравнений развивалась в работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Как было показано И. М. Петрушко, условие гладкости границы () можно ослабить. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах А. К. Гущина. При этом все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса и Литтлвуда–Пэли.
We establish the necessary and sufficient conditions for the solution of the second-order parabolic equation in a stellar domain with a lateral boundary in the class degenerate on the boundary of the domain, to have an average limit on the lateral surface of the cylindrical domain and the limit in the mean on its lower base. Also, we study the unique solvability of the first mixed problem for such equations in the case when the boundary and initial functions belong to spaces of the type. The closest to the questions under consideration are the theorems of Riesz and Littlewood and Paley, in which criteria are given for the limit values in p > 1, of functions analytic in the unit disk. Further development of this topic for uniformly elliptic equations was obtained in the works V. P. Mikhailov and A. K. Gushchin. The boundary smoothness condition can be weakened, as was shown by I. M. Petrushko. Under the weakest restrictions on the smoothness of the boundary (and on the coefficients of the equation), the criteria for the existence of a boundary value were established in by A. K. Gushchin. In this case, all directions of the acceptance of boundary values for uniformly elliptic equations turn out to be equal, the solution has the property similar to the property of continuity with respect to the set of variables. In the case of degeneracy of the equation on the boundary of the domain, when the directions are not equal, the situation is more complicated. In this case, the formulation of the first boundary value problem is determined by the type of degeneracy. When the values of the corresponding quadratic form of the degenerate elliptic equation on the normal vector are different from zero (Tricomi type degeneracy), the Dirichlet problem is well-posed and the properties of such degenerate equations are very close to the properties of uniformly elliptic equations. In particular, in this situation analogues of the Riesz and Littlewood-Paley theorems are valid.

Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи определения функции источника для уравнения смешанного типа второго порядка. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения на некотором наборе плоскостей размерности n−1. Неизвестные функции, входящие в правую часть, зависят от времени и n − 1 пространственных переменных и ищутся в классе квадратично суммируемых функций. При определенных естественных условиях на данные получены теоремы существования и единственности обобщенных решений задачи. Условия на данные по существу совпадают с условиями разрешимости прямой задачи. В качестве метода используется метод продолжения по параметру и полученные априорные оценки. Метод исследования позволяет обобщить результаты на случай более гладких данных и регулярных решений.
In the Sobolev spaces, we consider the well-posedness questions for the inverse problem of recovering the source function of a mixed type equation of second order. The overdetermination conditions are the values of a solution on a collection of planes of dimension n − 1. The unknowns occurring in the right-hand side depend on time and n − 1 unknown space variables. Under certain natural conditions on the data of the problem, we obtain existence and uniqueness theorems for generalized solutions to this problem. The conditions on the data almost coincide with those ensuring solvability of the direct problem. The parameter continuation method and a priori estimates are used to validate the results. The method allows us to generalize the results to the case of smoother data and regular solutions.

Рассматривается математическая модель совместной прокладки сетей водопровода и квартальных тепловых сетей. Целью статьи является исследование влияния излучения на процесс сложного теплообмена, происходящего в кожухе теплоизоляции между элементами конструкции. Приведены результаты математического моделирования тепловых потерь с учетом лучистой составляющей. При расчете тепловых потоков, которые теряет трубопровод при транспортировке теплоносителя через тепловую изоляцию, обычно учитывается процесс передачи теплоты путем теплопроводности и конвекции. Лучистой составляющей при этом в большинстве случаев пренебрегают. Особенно заметно влияние теплопередачи путем лучеиспускания и конвекции при использовании теплоизоляционных изделий с крупными порами, воздушными прослойками. Рассматривается наземная конфигурация трубопровода и водопровода, уложенного в общую тепловую изоляцию, изготовленную из минеральной ваты. При совместной прокладке трубопроводов происходит сложный лучистый теплообмен, который состоит для любого, одного из этих трубопроводов из излучения отраженного от другого трубопровода и собственного излучения. Рассчитывается нестационарное температурное поле конструкции, состоящей из двух параллельно уложенных трубопроводов с разными диаметрами, лежащих в общей теплоизоляционной конструкции, изготовленной из минеральной ваты. Элементы конструкции обмениваются теплом между собой и окружающей средой посредством конвекции и излучения.
This paper considers a mathematical model of joint laying of water pipeline networks and district heat networks. The purpose of the work is to study the effect of radiation on the process of complex heat exchange taking place in the housing insulation between structural elements. The results of mathematical simulation of the heat loss taking into account the radiant component are given. When calculating the heat flows which are lost in the pipeline through thermal insulation at transporting the coolant, the heat transfer process is usually considered by means of conduction and convection. The radiant component is neglected in most cases. The influence of heat transfer by radiation and convection is particularly noticeable using thermal insulation products with large pores and air gaps. A ground configuration of a pipe line and water pipe line laid in a joint thermal insulation made of mineral wool is considered. When laying joint pipelines, complex radiative heat transfer occurs. It consists, for each one of these pipelines, of radiation reflected from the other pipeline and self-radiation. A non-stationary temperature field of the structure, consisting of two parallel stacked pipes with different diameters lying in a joint insulating structure made of mineral wool, is calculated. The construction elements exchange heat with each other and the environment by convection and radiation.

Рассмотрено влияние солнечной радиации в температурное поле многолетнемерзлого массива на горизонтальных поверхностях с учетом изменения солнечной радиации в течении суток. Построена и реализована математическая модель процесса на основе задачи типа Стефана. Произведен расчет количества циклов промерзания-оттаивания в весенний и осенний период для условий Центральной Якутии.
The influence of solar radiation in the temperature field of the permafrost massif on horizontal surfaces is considered taking into account changes in solar radiation during the day. A mathematical process model is constructed and implemented based on a Stefan type problem. The calculation of the number of freezing-thawing cycles in the spring and autumn for the conditions of Central Yakutia was made.

Первоначальная форма зерен золота, встречающихся в природе, в большинстве случаев имеет форму плоской пластины (чешуйчатую форму). Поэтому при пневмосепарации часто наблюдается торовидная форма кусков золота. При сепарировании форма зерен в виде тора считается наиболее эффективной, тем самым актуальна задача расчета времени образования торовидной формы куска золота. В настоящей работе рассматривается эволюция деформируемой поверхности плоского диска из ковкого металла при изотропной бомбардировке его поверхности мелкими частицами. Разработана математическая модель эволюции поверхности диска. Получено дифференциальное уравнение, описывающее изменение деформируемой поверхности круглого диска, которое решается численным методом Рунге — Кутты. Решение уравнения описывает деформируемую поверхность тела в зависимости от времени. Из результатов исследования следует, что наиболее устойчивой торовидной формы, при которой деформируемая поверхность достигает максимального значения, тело достигает достаточно быстро, затем наступает более медленное изменение поверхности до шаровидной формы. Оценено время образования торовидной формы диска при определенных параметрах исследуемой системы. Результаты могут быть использованы при разработках более точных моделей эволюции плоских тел при бомбардировке их поверхности мелкими частицами.
The initial form of the grains of gold found in the nature in most cases is a flat plate (a scaly form). However, during pneumoseparation, the toroidal shape of pieces of gold is often found and considered to be the most effective. Thus the task of estimating time of formation of a toroidal piece of gold is important. In the paper, we consider the evolution of the surface of a flat disk of malleable metal deformed by isotropic bombing with fine particles and develop a mathematical model of this evolution. We obtain a differential equation describing the change of the deformed surface of a round disk which is solved then by a Runge–Kutta method. Studying the solution of the equation, we found that the body rather quickly reaches the most stable toroidal form when the deformed surface gets its maximal value and then a slower transformation of the surface into the sphere follows. We estimate the time of formation of a toroid from a disk with certain parameters of the considered system. The received results could be used for developing more exact models of evolution of flat bodies bombed with fine particles. Keywords: mathematical model, differential equation, deformed surface, toroid, enrich.

Представлена математическая модель движения тяжелых частиц в окружении зерен в отсадочной машине. Зерна моделируются шарами определенного радиуса. Рассмотрен статистический подход для описания процесса. При этом используется модель движения броуновской частицы, в котором вместо кинетической энергии хаотического теплового движения молекул, бомбардирующих броуновскую частицу, учитывается кинетическая энергия зерен, окружающих рассматриваемое зерно тяжелой частицы и движущихся под воздействием вибрирующей силы отсадочной машины. Эта сила зависит от амплитуды и частоты, то есть параметров циклов отсадки. В результате математического моделирования получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, распределяемых по плотности в камере отсадочной машины. Получены динамические кривые распределения тяжелых зерен по высоте постели.

Одним из эффективных методов сепарации тяжелых зерен в сыпучей среде, например, золота, является гравитационная отсадка. В работах по моделированию процесса отсадки используется теория броуновской частицы, где решается уравнение типа ФоккераПланка, но в них фактически не учитывается взаимодействие частиц полезной фракции между собой. Экспериментальным путем определены параметры, учитывающие взаимодействие этих частиц, полученные математическим моделированием процесса. В качестве исследуемого материала берется магнетик, содержащийся в природном песке. Этот материал (тяжелая фракция) имеет большую плотность, чем песок (приблизительно 1,2 раза). Тяжелая фракция разделяется из песка с помощью постоянного магнита. В результате исследований получены теоретические распределения концентрации магнетика по высоте объема устройства адаптированные с экспериментальными данными. Исследования проведены при различных условиях: сухая смесь, жидкая смесь, различные режимы работы вибратора. Полученные распределения позволяют при определенных заданных начальных условиях (например, при определенном процентном отношении тяжелой фракции от общего объема песка) вычислить вероятное время, за которое образуется некоторый заданный слой материала на дне емкости отсадочной постели с определенной концентрацией полезной фракции. Результаты исследования показали, что градиентная сила со временем увеличивается, а сила сопротивления среды наоборот убывает, если в начальный момент времени вся полезная (тяжелая) фракция находилась на верхней части массы песка.
One of efficient methods to separate heavy grains from granular material, for instance, gold, is gravity jigging. The known approaches to jigging modeling use the Brownian particle theory and solve the Fokker-Planck equation. The interaction between particles of useful fraction is neglected in this case. The present article is focused on determination of parameters which take into account such interaction. The theoretically modeled parameters are later on found experimentally. The test material is chosen to be magnetic substance contained in natural sand. This material (heavy particles) have higher density than sand (by a factor of 1.2 approximately). The heavy particles are separated from sand using permanent magnet. As result of the research, theoretical distributions of the magnetic substance concentrations along the height of a test container are obtained and adapted to experimental data. The tests are carried out in varied conditions: dry mix, liquid mix, varied vibration regimes. The resultant distributions, given the preset initial conditions (e.g. definite percentage of heavy particles and total sand volume), enable calculating time of formation of a preset material layer with the certain concentration of useful fraction on the bottom of the settlement container. The research findings show that the gradient force grows in time while the medium resistance decreases vice versa in case that all useful fraction (heavy particles) is at the top of the sand contained at the initial time